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今日の指導日記-数学:論理

 今日の指導日記
   ~今日教えた問題で気になったこと、気付いたことを覚書として~

 ある国立大学附属高校へ通う生徒の期末試験勉強での質問が、久しぶりに見る論理の問題でした。
普通、高校ではあまり取り上げられる事のない問題ですが、私たちが普段生きる中であまり気にせずに当然のこととして思いこんでしまっていることが、実は論理的にはおかしいと気付かせてくれる問題です。
高校生が考えるには非常に示唆に富んだ良い問題だと思います。


 今日の気になる問題 ( 類題 )
  ある大学の合格発表の場で、それを見ていた教員が「受験者Xが社会人なら、合格者である。」とつぶやいた。
 ところが、この教員の言ったことは間違っていた。受験者Xに該当するのはつぎのどれか?
 1.受験者Xが社会人かは分からないが、合格る。
 2.受験者Xが社会人かは分からないが、不合格る。
 3.受験者Xは社会人で、合格。
 4.受験者Xは社会人で、不合格。
 5.受験者Xは社会人だが、合格か不合格かは分からない。
 6.受験者Xは社会人ではなく、合格。
 7.受験者Xは社会人ではなく、不合格。
 8.受験者Xは社会人ではなく、合格か不合格か分からない。
 9.ここに与えられた条件では何も分からない。

 解答:4

 この問題は数学Aの論理に含まれる命題に関する問題です。

-今回の条件を整理-

命題p:Xは社会人である。
命題q:Xは合格である。

とすると、教員の発言はp→qという複合命題になっています。
発言が間違っていたという今回の設問では「p→qが偽である」という場合です。

-考えてみる-
pが真か偽か、qが真か偽かでp→qは4通りの可能性が考えられます。

・Xが社会人かどうか分からない場合は、p→qの仮定であるpが揺らぎます。

・命題pが偽のとき、p→q はqの真偽に限らず真になります。
ここが分かりずらいところです。なぜ”真偽に限らず真になる”のでしょうか?
これを考えるときに重要なことは・・・
「この命題の仮定はpですが、”p→qが真である”を考えるとき、”仮定pが成り立つ場合に”というもとで語られていることを意識すること」です。
今日教えた生徒も、これを中心に説明したところ、明確に理解できたようです。
この考え方、実は日々の生活で私たちが行っている判断にも関わってきます。久しぶりにこの問題を説明してみると、
私自身も日常生活で危うい判断をしているのだということを実感し・・・反省。そしてそんな話をしながら、生徒と一緒にほんの少ーし感慨にふけりました。

問題に戻ります。。
命題pが真のとき、qが真であれば、p→qは真となります。
この場合、p→qが偽であることに反します。

これらの理由より、
唯一pが真であり、qが偽であるときのみ「p→qが偽である」という今回の条件に当てはまります。
よってXは社会人であり、不合格である。の(4)が正解となります。


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私がこの手の問題を勉強したのは高校2年生のころ。その時に使った問題集がこれでした!
今でも座右の書のひとつです。


このシリーズの他の本も座右の書のひとつで、機会があればいつかブログを書きたいなと思っています。

このシリーズでは、普段の授業や参考書・問題集でほとんど語られることのない「問題が与えられてから、解法が見つかるまでの間」に焦点が当てられています。

 数学ができないという人の場合、多くは解き方ばかりを学び、問題とその解き方をつなぐ部分を学んでいないことがほとんどです。それは普段、教科書や参考書を書いた人の頭の中、または授業をする先生の頭の中で処理されていることです。それを読む人や授業を受ける人は、その部分を見たり聞いたりすることはなく、処理された結果だけを見ることになります。だから、自分で解くことが難しくなってしまうのです。
 この部分を明確にして教えるのも私が普段の授業で特に重視していることですが、私が高校生の頃にこの部分を勉強したのが、この本のシリーズでした。
 先日まで絶版されていて、中古市場では数万円という値が付いていましたが、復刊ドットコムにより復刊したようです。
私も、新しいものをこの機会に手に入れなければ・・・


 どれも非常に役に立ちますので、数学が本当に得意で積極的に勉強したい場合はすべてやるべきですが、そこまでじゃないとか時間がないとかの場合は”数学の計算回避のしかた”が一番おススメかもしれません。












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